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Problemi sulla gravitazione
1) Sovrapposizione di forze gravitazionali
| Dati del problema | Richieste | ||
| m = 1000 kg | massa della sfera A | F | forza gravitazionale esercitata su A |
| M = 2500 kg | massa delle sfere B e C | ||
| xB = 0; yB = 1 m | coordinate della sfera B | ||
| xC = 2 m; yC = 0 | coordinate della sfera B | ||
| G = 6.673 10-11 N m2 / kg2 | costante di gravitazione universale |
La sfera A risente sia dell'attrazione della sfera B, sia di quella della sfera C:
le due azioni si sovrappongono.
Bisogna calcolare indipendentemente le due forze (con la legge di gravitazione)
e poi sommarle vettorialmente.
Modulo della forza esercitata da B su A:
FB = G m M / yB2 = 1,67 10-4 N = 167,0 μN
Modulo della forza esercitata da C su A:
FC = G m M / yC2 = 4,17 10-5 N = 41,7 μN
Dal momento che le due forze sono perpendicolari, il modulo della forza
risultante F si trova applicando Pitagora:
F = (FB2 + FC2)1/2 = 172,1 μN
tg α = FB / FC = 4
da cui α = 76°
2) Satelliti geostazionari
| Dati del problema | Richieste | ||
| T = 1 giorno = 8,64 104 s | periodo di rivoluzione | h | quota |
| RT = 6,37 106 m | raggio terrestre | ||
| MT = 5,97 1024 kg | massa della Terra | ||
| G = 6,67 10-11 N m2 kg-2 | costante di gravitazione universale |
Per la III legge di Keplero, il periodo di rivoluzione T è legato al raggio R dell'orbita (R = RT + h)
R3 / T2 = costante
Il valore della costante è determinato dalla massa MT della Terra
R3 / T2 = 4 π2 / G MT
Dall'ultima relazione si ricava il raggio R dell'orbita
R = 4,22 107 m
e quindi, sottraendo il raggio terrestre RT, la quota h
h = 3,6 107 m = 36 000 km
3) Conservazione dell'energia meccanica gravitazionale
| Dati del problema | Richieste | ||
| M, m | masse | vB | velocità finale di m rispetto ad M |
| dA | distanza iniziale tra le masse | ||
| vA = 0 | velocità iniziale di m rispetto ad M | ||
| dB | distanza finale tra le masse |
Quando le masse si avvicinano, la forza attrattiva è più intensa. Durante lo spostamento essa compie un lavoro positivo e quindi il sistema acquista energia cinetica a spese dell'energia potenziale iniziale.
Poiché la forza gravitazionale è conservativa, l'energia meccanica totale delle due masse rimane costante.
L'energia totale è la somma K1 + K2 dell'energia cinetica di ogni massa e dell'energia potenziale (negativa) U del sistema. In simboli:
Nei problemi che riguardano il moto di due corpi, conviene spesso prendere un sistema di riferimento solidale con uno dei due corpi e considerare solo il moto dell'altro. Nel riferimento della massa M, l'energia cinetica di M è nulla e la legge di conservazione dell'energia meccanica (tra le due configurazioni iniziale e finale) diventa:
1/2 m vA2 - G M m / dA = 1/2 m vB2 - G M m / dB
Nella configurazione iniziale A la massa m è immobile e l'energia meccanica e solo
potenziale. Dividendo tutto per m, si ha:
- G M / dA
= 1/2 vB2 - G M / dB
La velocità della massa m nella configurazione B è quindi:
vB = (2 G M (1 / dA - 1 / dB))1/2
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Copyleft Ludovica Battista