Equazione di un'onda armonica: dimostrazione
Scegliamo la direzione di una corda elastica tesa come asse di riferimento x ed una estremità della corda come origine. Sollecitiamo l'estremo della corda ad oscillare con frequenza ω ed ampiezza A. Il punto origine O è la sorgente di un'onda meccanica che si propaga lungo l'asse x.
Ponendo per semplicità uguale a zero la fase iniziale del moto, il moto della sorgente ha equazione oraria: y (t) = A cos (ω t)
L'angolo di fase ω t è essere espresso in radianti e dipende dal tempo.
Mentre la sorgente oscilla, la perturbazione si muove lungo la corda con velocità v. In un periodo T, la sorgente compie una oscillazione completa e l'onda contemporaneamente si sposta di una lunghezza d'onda λ=vT lungo la corda.
Non appena sono raggiunti dalla perturbazione, i punti della corda iniziano a muoversi di moto armonico come la sorgente . Il ritardo è legato alla posizione dei punti sulla corda, cioè all'ascissa x.
Consideriamo un generico P di ascissa x: esso si muoverà come la sorgente con un ritardo t' = x / v. La legge che esprime lo spostamento y del punto P (cioè la funzione d'onda) è:
y (x, t) = A cos(ω(t - t')) = A cos (ω t - ω x / v)
Il ritardo temporale t' si traduce in uno sfasamento ω x / v tra il moto del punto P (ascissa x) e la sorgente (ascissa 0).
sfasamento = ω x / v = 2π x / v T = k x
k = 2 π / v T = 2 π / λ si chiama numero d'onda
Pertanto la forma finale di una funzione d'onda armonica che si propaga nella direzione e verso dell'asse x è:
Se la distanza di P dalla sorgente è un multiplo della lunghezza d'onda, il ritardo è un multiplo del periodo e P si muove in fase con la sorgente. Se la distanza di P dalla sorgente è un multiplo di λ/2, allora P è in opposizione di fase con la sorgente.
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