Oscillazioni e onde: Energia nel moto armonico

Il moto del pendolo

pendola (3K)
Si chiama pendolo semplice un sistema formato da una massa m, appesa a un filo di lunghezza L inestensibile di massa trascurabile rispetto ad m, libera di dondolare senza attrito.
Il moto del pendolo semplice è un moto armonico?

La massa m (che può essere schematizzata con un punto materiale) si muove su un piccolo arco di circonferenza, mentre il moto armonico è un moto rettilineo. Se però ci limitiamo solo a piccole oscillazioni il tratto percorso dal punto materiale può essere considerato quasi rettilineo.

Questo non basta: perché il moto possa dirsi armonico è necessario individuare una forza di richiamo F = - k x proporzionale allo spostamento x della massa dal punto di equilibrio (cioè dalla posizione verticale del pendolo).

forze_su_pendolo (9K)

Sulla massa m agisce la forza peso P di modulo m g diretta verticalmente verso il basso e la tensione T diretta nella direzione del filo verso il centro di oscillazione.

Fotografiamo il moto del pendolo in un istante in cui il filo forma un angolo α non nullo (ma piccolo) con la verticale.

La forza peso si scompone in una componente radiale diretta come il filo ed una tangenziale diretta nel verso dello spostamento. La componente radiale si sottrae alla tensione del filo e la risultante fornisce la forza centripeta necessaria per il moto circolare.

Per piccole oscillazioni (moto praticamente rettilineo), possiamo considerare nulla questa forza e quindi la forza risultante è solo la componente tangenziale della forza peso: F = m g sen α

Inoltre, per piccole oscillazioni, sen α ~ α, quindi
F = m g sen α ~ m g α ~ m g x / L

Esiste quindi un rapporto costante tra forza F e spostamento x. La costante elastica k del pendolo è allora:

k = F / x = m g / L
Considera un pendolo semplice di massa 2 kg e lunghezza 3 m. Quanto vale il suo periodo?
Dati del problemaRichieste
m = 2 kgmassa del pendoloTperiodo del pendolo
L = 3 mlunghezza del pendolo

In un moto armonico semplice il periodo T è legato alla costante elastica k ed alla massa m dalla relazione
formula_periodo3 (1K)
Poiché la costante elastica per un pendolo è a sua volta legata alla massa ed alla lunghezza L si ottiene:

formula_periodo4 (1K)

Il periodo del pendolo semplice è quindi (per piccole oscillazioni) indipendente dalla massa.
Dai dati del problema si ottiene:
T = 3,47 s



Copyleft Ludovica Battista